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二战中数学家的贡献

——二战与数学

战神如果是个数学家,那他取胜的几率就会大增。从人类早期的战争开始,数学就无所不在。不论是发射弩箭还是挖掘地道攻城,数学定律就像冥冥之中的命运之神一样在起作用。看看第二次世界大战中数学家作出的贡献,你会对中国的陈景润们更加肃然起敬。

第二次世界大战,是人类文明的大浩劫。成千上万的人死于战祸,其中包括许多世界上最优秀的数学家,波兰学派将近三分之二的成员夭折,德国哥庭根学派全线崩溃。但是数学家没有被吓倒。大批有正义感的数学家投入了反法西斯的战斗。

一支高智商的反法西斯队伍

二战迫使美国政府将数学与科学技术、军事目标空前紧密地结合起来,开辟了美国数学发展的新时代。1941至1945年,政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86%。美国的“科学研究和发展局”(OSRD)于1940年成立了“国家防卫科学委员会”(NDRC),为军方提供科学服务。1942年,NDRC又成立了应用数学组(AMP),它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。AMP和全美11所著名大学订有合同,全美最有才华的数学家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。AMP的大量研究涉及“改进设计以提高设备的理论精确度”以及“现有设备的最佳运用”,特别是空战方面的成果,到战争结束时共完成了200项重大研究。

在纽约州立大学,柯朗和弗里德里希领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论。超音速飞机带来的激波和声爆问题,利用“柯朗-弗里德里希-勒维的有限差分发”求出了这些课题的双曲型偏微分方程的解。布朗大学以普拉格为首的应用数学小组集中研究经典动力学和畸变介质力学,以提高军备的使用寿命。哈佛大学的G•伯克霍夫为海军研究水下弹道问题。哥伦比亚大学重点研究空对空射击学。例如,空中发射炮弹弹道学;偏射理论;追踪曲线理论;追踪过程中自己速度的观测和刻划;中心火力系统的基本理论;空中发射装备测试程序的分析;雷达。

普林斯顿大学和新墨西哥大学为空军确定“应用B-29飞机的最佳战术”。冯•诺伊曼和乌拉姆研究原子弹和计算机。维纳和柯尔莫戈洛夫研究火炮自动瞄准仪。由丹泽西为首的运筹学家发明了解线性规划的单纯形算法,使美军在战略部署中直接受益。

破译密码的解剖刀——数学

英国数学家图灵出生于一个富有家庭,1935年在剑桥大学获博士学位后去美国的普林斯顿,为设计理想的通用计算机提供了理论基础。1939年图灵回到英国,立即受聘于外交部通讯处。当时德国法西斯用于绝密通讯的电报机叫“Enigma”(谜),图灵把拍电报的过程看成在一张纸带上穿孔,运用图灵的可计算理论,英国设计了一架破译机“Ultra”(超越)专门对付“Enigma”,破译了大批德军密码。

1941年5月21日,英国情报机关终于截获并破译了希特勒给海军上将雷德尔的一份密电。从而使号称当时世界上最厉害的一艘巨型战列舰,希特勒的“德国海军的骄傲”——“俾斯麦”号在首次出航中即葬身鱼腹。

1943年4月,日本海军最高司令部发出的绝密电波越过太平洋,到达驻南太平洋和日本占领的中国海港的各日本舰队,各舰队司令接到命令:日本联合舰队总司令长官山本五十六大将,将于4月18日上午9时45分,由6架零式战斗机保护,乘两架轰炸机飞抵卡西里湾,山本的全部属员与他同行。

这份电报当即被美国海军的由数学家和组合学家组成的专家破译小组破译,通过海军部长弗兰克•诺克斯之手,马上被送到美国总统罗斯福的案头。于是,美国闪电式战斗机群在卡西里湾上空将山本的座机截住,座机在离山本的目的地卡西里只有几英里的荆棘丛中爆炸。

中途岛海战也是由于美国破译了日本密码,使日本4艘航空母舰,1艘巡洋舰被炸沉,330架飞机被击落;几百名经验丰富的飞行员和机务人员阵亡。而美国只损失了1艘航空母舰,1艘驱逐舰和147架飞机。

从此,日本丧失了在太平洋战场上的制空权和制海权。

一个一流数学家胜过10个师

1944年,韦弗接到请求,希望确定攻击日本大型军舰时水雷布阵的类型。但是美国海军对日本大型舰只的航速和转弯能力一无所知。幸运的是海军当局有许多这些军舰的照片。当把问题提到纽约州立大学韦弗的应用数学组时,马上有人提供了一个资料:1887年,数学家凯尔文曾研究过当船以常速直线前进时,激起的水波沿着船只前进的方向形成一个扇面,船边的角边缘的半角为19度28分,其速度可以由船首处两波尖顶的间隔计算出来。根据这个公式测算出了日舰的航速和转弯能力。

战争初期,希特勒的空军优势给同盟国造成了很大的威胁,英国面对德国的空袭,要求美国帮助增加地面防空力量。苏联在战争初期失利,要求数学家帮助军队保卫莫斯科,特别是防卫德军的空袭。这时,英国的维纳和苏联的柯尔莫戈洛夫几乎同时着手研究滤波理论与火炮自动控制问题。维纳给军方提供准确的数学模型以指挥火炮,使火炮的命中率大大提高。这一套数学理论组成了随机过程和控制论的基础。

在两军对垒的战斗中,许多问题要求进行快速估算和运用逼近方法。专攻纯数学的冯•诺伊曼立即把注意力放到数值分析方面。他从事可压缩气体运动以及滤波问题,开拓了激波的互相碰撞、激波发射方面的研究。

1943年底,他受奥本海默邀请,以顾问身份访问洛斯阿拉莫斯实验室,参加制造原子弹的工程,在内向爆炸理论、核爆炸的特征计算等方面都作出了巨大贡献。

二战中军备消耗惊人,研究军火质量控制和抽样验收方面如何节省的问题十分迫切。隶属于应用数学小组的哥伦比亚大学的统计研究小组的领导人瓦尔德研究出一种新的统计抽样方案,这便是现在通称的“序贯分析法”这一方案的发明,为美国军方节省了大量军火物资,仅这一项就远远超过AMP的全部经费。

在硝烟弥漫的战争中,数学家铸就了军队之魂。二战期间仅德国和奥地利就有近200名科学家移居美国,其中包括世界上最杰出的科学家。大批外来高科技人才的流入,给美国节省了巨额智力投资。美国军方从那时起,就十分热衷于资助数学研究和数学家,甚至对应用前景还不十分明显的项目,他们也乐于投资。美国认为,得到一个第一流的数学家,比俘获10个师的德军要有价值得多。有人认为,第一流的数学家移居美国,是美国在第二次世界大战中最大胜利之一。

二战中的数学智慧

巧妙对付日机轰炸

太平洋战争初期,美军舰船屡遭日机攻击,损失率高达62%。美军急调大批数学专家对477个战例进行量化分析,得出两个结论:一是当日军飞机采取高空俯冲轰炸时,美舰船采取急速摆动规避战术的损失率为20%,采取缓慢摆动的损失率为100%;二是当日军飞机采取低空俯冲轰炸时,美军舰船采取急速摆动和缓慢摆动的损失平均为57%。美军根据对策论的最大最小化原理,从中找到了最佳方法:当敌机来袭时,采取急速摆动规避战术。据估算美军这一决策至少使舰船损失率从62%下降到27%。

理智避开德军潜艇

1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时,英美两国实力有限,无力增派更多的护航舰艇。一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此,一位美国海军将领专门去请教了几位数学家。数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律:一定数量的船编队规模越小,编次就越多;编次越多,与敌人相遇的概率就越大。美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口,结果盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%下降为1%,大大减少了损失。

算准深水炸弹的爆炸深度

英军船队在大西洋里航行时,经常受到德军潜艇的攻击。而英国空军的轰炸对潜艇几乎构不成威胁。英军请来一些数学家专门研究这一问题,结果发现,潜艇从发现英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸时止,只下潜了7.6米,而炸弹却已下沉到21米处爆炸。经过科学论证,英军果断调整了深水炸弹的引信,使爆炸深度从水下21米减为水下9.1米,结果轰炸效果较过去提高了4倍。德军还误以为英军发明了新式炸弹。

飞机止损护英伦

当德国对法国等几个国家发动攻势时,英国首相丘吉尔应法国的请求,动用了十几个防空中队的飞机和德国作战。这些飞机中队必须由大陆上的机场来维护和操作。空战中英军飞机损失惨重。与此同时,法国总理要求继续增派10个中队的飞机。丘吉尔决定同意这一请求。内阁知道此事后,找来数学家进行分析预测,并根据出动飞机与战损飞机的统计数据建立了回归预测模型。经过快速研究发现,如果补充率损失率不变,飞机数量的下降是非常快的,用一句话概括就是“以现在的损失率损失两周,英国在法国的‘飓风’式战斗机便—架也不存在了”,要求内阁否决这一决定。最后,丘吉尔同意了这—要求,并将除留在法国的3个中队外,其余飞机全部返回英国,为下一步的英伦保卫战保留了实力。

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