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宇宙的答案42 这个数字到底有多神奇

在1979年的畅销科幻小说《银河系漫游指南》的最后,超级计算机“深度思考”揭示了“生命、宇宙和一切”的“伟大问题”的答案是“42”。“深度思考”花了整整750万年来计算这个终极问题的答案。而知道答案后,负责获得该答案的角色很失望,因为这个答案没什么用。

然而“42”的确不同寻常。从历史到现实,再到数学家研究的难题,“42”都有着它非同寻常的地位。

无处不在的“42”

“42”这个数字可能因为作家道格拉斯·亚当斯的《银河系漫游指南》而成为极客文化的一个组成部分。例如,如果你问你的搜索引擎“所有问题的答案是什么?”它很可能回答“42”。无论你使用谷歌、Qwant、Wolfram Alpha(专门回答数学问题的网站)还是聊天机器人Web应用Cleverbot,你都会得到相同的答案。

很多与互联网相关的企业也喜欢“42”,比如计算机培训机构“42网络”,它自2013年在法国成立以来,已在全球建立了超过15个校区。而在电影《蜘蛛侠:平行宇宙》中,数字42也以不同的形式出现。在维基百科的词条“42(数字)”中,你可以找到更多它出现的地方。

数字42还出现在一系列奇怪的历史巧合中,尽管其重要性可能不值得花时间去研究。例如:

在古埃及神话中对灵魂进行审判时,死者必须在42名法官面前宣布他们没有犯过42项罪;

马拉松的距离是42.195公里,尽管公元前490年,当古希腊信使费迪皮迪兹第一次完成这个距离时,公里还没有被定义;

古代西藏有42位统治者,公元前127年左右的聂赤赞普是第一位,而从公元836年到公元842年(即九世纪的42年)在位的朗达玛是最后一位;

《古腾堡圣经》是欧洲印刷的第一本书,每页42行,也被称为“42行圣经”。

面对“42”的神奇,确实有人提出了一个明显的问题:就是在亚当斯的书中使用42是否对作者有任何特殊的意义。亚当斯在一个论坛中回答了这个问题:“那是个笑话。它(答案)必须是一个数,一个普通的,较小的数,我选了这个。二进制表示,十三进制,西藏僧侣都是胡说八道。我坐在书桌前,凝视着花园,心想‘42号就行了’。我把它打了出来。故事结束了。”

数学家眼中的42

“42”是个数字,最有资格谈论这个数字是否神奇的,可能是数学家。那么就让我们从数学的角度看看这个数字有什么特殊之处。

首先在二进制系统中,也就是以2为进制的系统中(我们日常使用的是10进制),42被写成101010,这很容易。顺便提一下,“42”的神奇也让一些粉丝在2010年10月10日(10/10/10)举行了一次聚会。

在亚当斯的回答中还提到了13进制表示。在13进制的表达中,我们需要十三个符号计数:0123456789 A B C。在这个进制下,6乘以9等于42。可能你会觉得这个结果很荒谬,因为我们都知道6×9=54。但这是在10进制的计算中。如果在以13为底的情况下,表示为42的数应该是(4 x13)+2=54。

有趣的稀有整数列

数字42有一系列有趣的数学特性。

这个数是2的前三次奇数幂的和,即2+2x2x2+2x2x2x2x2=42。事实上,从这个角度看,它的神奇不止于此。假设它是序列 a(n)中的一个元素,其中 a(n)=前n个2的奇次幂之和。

那么

a(1)=2,a(2)=2+2x2,a(3)=2+2x2x2+2x2x2x2x2=42。

如果在二进制下表达,我们会发现:

a(1)=10,a(2)=1010,a(3)=101010,......,a(n)="10"重复出现n次。

该数列的通项公式为:

随着n的增加,这组数字的密度趋向于零,这意味着出现在这个数列中的数字,包括42,非常稀有。此外,你也可以换一种玩法:42是6的前两个非零整数幂的和,即6+6x6=42。那么你可以考虑另一个数列:

b(1)=6,b(2)=6+6x6,b(3)=6+6x6+6x6x6,......,b(n)=前n个6的幂方和。

这些数字的密度在n无穷大时也趋向于零。

明安图-卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名。但实际上,清朝数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先发现这种特殊的数字,远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。

这些数字极其罕见,比素数要少得多,前20个的明安图-卡塔兰数为:

1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190。

你看到了,42出现在这个序列中。

瑞士数学家莱昂哈德·欧拉首先以另一个方式提到了明安图-卡塔兰数,而这个解释要比纯粹的数字有趣的多。欧拉想知道通过连接顶点,一个(n+1)边凸多边形可以有多少种不同的方式被切割成三角形,而答案由第n个明安图-卡塔兰数给出。

凸6边形一共有14种欧拉的切割方式(n=5)

组合数学给出了计算明安图-卡塔兰数的一般公式:

就像前面的两个数列一样,这类数的密度在n无穷大时为零。

明安图-卡塔兰数作为一个组合学数列,与很多计数有关系。比如卡塔兰本人是通过安排双括号写作规则发现的:假设给你n个左括弧,n个右括弧,那么它们有多少种方式可以组成符合写作规则的括号?答案就是第n+1个明安图-卡塔兰数。

例如,n=3,因为所有合乎规则的排列方式只有5种:

((()));()()();(())();(()());()(()).

实际数

“42”的另一个数学身份是它是一个“实际数”。一般一个正整数n称为实际数,如果所有小于n的正整数都可以表示为若干个n的不同真因子的和。

比如42,它的不同因子有1,2,3,6,7,14,21。而任何一个小于42的整数都可以表达成这些数字中的一些的和。比如:11=2+3+6,41=6+14+21。

早在十二、十三世纪,意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》中,在说明如何用埃及分数的和表示有理数时有用到实际数。但斐波那契没有正式的定义实际数。实际数一词最早是由拉马努金在1948年开始使用的,他希望可以找出有这类性质的数字。

此工作后来在1955年由斯图瓦特和谢尔宾斯基完成。利用正整数的素因数分解可以判断是否是实际数,所有2的幂及偶数的完全数都是实际数。

以下是实际数的列表:

1,2,4,6,8,12,16,18,20,24,28,30,32,36,40,42,48,54,....

然而迄今为止,没有一个简单的已知公式可以提供这个序列的第n个元素。

已发现实际数和素数有许多类似的特质,它也有对应哥德巴赫猜想及孪生素数猜想的定理:每一个偶数可以表示为二个实际数的和,以及存在无限多个相差2的实际数。梅尔菲证明了在斐波那契数列中存在无限多个实际数,而素数与之对应的问题,也就是是否存在无限多个斐波那契素数还没有被证明,但也还找不到反例。

三个整数立方和的问题

关于42这个数字的游戏有很多,但多年来一直认为这些组合游戏都是很简单的。然而最近,一个新的问题似乎不是那么容易,这就是“三个整数立方的和”的问题。似乎“42”比100以下的其它所有数字都更麻烦。

这个问题陈述如下:

什么整数 n可以写成三个整数的立方的和?也就是给定n,寻找整数a、b、c,使得

作为一个实际问题,进行这种计算的困难在于,对于一个给定的 n,要考虑的三个可能的整数涉及到负整数。因此,并没有对a、b、c这三个数有所限制。有些答案可能会大得惊人,比如在2007年发现的156的答案:

而且,对于一些整数 n并没有此类解。事实上,一个简单结论是,对于任何可以表示为(9m+4)或(9m+5)的所有整数n都是如此。例如4、5、13、14、22、23等等。这个证明并不复杂,需要使用模9计算,这相当于假设9=0,然后只操作0到8之间或-4到4之间的数字。我们可以看到,对9取模后,整数的立方是一定是-1、0或1。将这些数字中的任意三个数字相加,你不可能得到4或5。这个限制意味着三个整数的立方和永远不会是(9m+4)或(9m+5)这种形式的数字。

而事实上,即便知道一个整数n满足条件,求解a、b、c同样困难。

比如对于n=1,有一个明显的答案:a=b=1,c=-1。但还有其它答案吗?有!

还有吗?还有!1936年,德国数学家库尔特·马勒给出了无限多个解:对于任意整数p,

这个证明很简单,展开合并同类项就可以了。

n=2的无穷解集也是已知的。1908年,数学家A·S·布鲁索夫证明,对于任意整数p:

通过将这些方程的每一项乘以一个整数的立方,我们可以推导出:任意整数的立方以及其立方的两倍都有无穷多个解。

然而美好的事情结束了。截至2019年8月,n=3时,已知的解只有两个:

那随之而来的一个问题是:对于任何 n,是否至少有一个解呢?我们的42马上就要登场了。

计算机的寻找

为了回答这个问题,数学家们开始取一些较小的值1、2、3、6、7、8、9、10、11、12、15、16……并逐一检查。如果对这些数字都可以找到写成三个立方的和的办法,那或许可以猜测,对任何整数 n(不是形如n=9m+4或n=9m+5),都可以表达成三个整数立方的和。

现在,通过使用计算机,科学家已经求解了越来越多的数字。

2009年,采用了哈佛大学的诺姆·埃尔基斯提出的方法,德国数学家安德烈亚斯·斯蒂芬·埃尔森汉斯和约格·贾内尔对小于1000的正整数,尝试了所有绝对值小于1014的解。他们的结论是:在小于1000的范围内,只有33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921和975仍未解决。而对于小于100的整数,仅剩下三个:33、42和74没有解决。

在2016年的一篇预印本论文中,荷兰特文特大学桑德·豪斯曼解决了74:

2019年,英格兰布里斯托大学的安德鲁·布克解决了33:

从那时起,“42”就称为最后一个小于100的不知道能否表示成三个整数立方的和的正整数。如果没有解决办法,那么“42”的这个数学意义可能给它的神奇找出了一个真正令人信服的理由:它将是第一个似乎可能有解决办法,但却没有找到解决办法的数字。

然而答案出现在2020年的预印本中,这是由麻省理工学院的布克和安德鲁·萨瑟兰共同进行了巨大计算后的结果。参与这项工作联网电脑计算时间相当于一台计算机连续工作100多万小时,而结果显示:

最近,数学家们还找到了165、795和906的答案。于是对于1000以下的整数,剩下的只有114、390、579、627、633、732、921和975。

针对这个研究方向,1992年牛津大学的罗杰·希思-布朗还提出了一个更强的猜想:如果一个正整数n可以表示为三个整数立方的和,那这种表达方式应该有无限多种。

这一难题似乎更加让人望而生畏,任何算法,无论多么聪明,都无法处理所有可能的情况。例如,在1936年,艾伦·图灵指出,没有一种算法能够解决所有可能的计算机程序的停机问题。但这里我们是在一个容易描述的,纯粹的数学领域。如果我们能证明这种无限性,那将是一件了不起的事。

数字“42”是困难的,但它不是最后一步;数字“42”是神奇的,但它仅仅是浩瀚神奇的数学海洋中的一滴水!

责任编辑: 李华   来源:网易 转载请注明作者、出处並保持完整。

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